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2007年 02月 28日
腑に落ちない
こんな話題に理系でもないのにしゃしゃり出るのには、かなり勇気が必要です。 でも、実は三角関数は好きでした。 とはいえ、随分忘れていて、ネットで相当カンニングをしました。 自分は文系なので、文系の方に納得して頂けるお話の仕方ができるかも知れない という思い一つだったりもします。 コメント欄は井戸端方式にさせてください。 難しい説明を頂くことがあっても、わかる方たちがお話しくだされば、話が見えてくることもあるかもしれないと思います。コメントしづらければ、足跡ひとつ残して頂ければ十分です。私からのお返事が全てのコメントにできなくても、どうか勘弁してください。 落ちるような落ちないようなお話。 文系脳のための「三角関数」 おそらく三角関数を忘れてしまった多くの方たちにとって一番知りたいことと言えば、「三角関数」で何がわかるの?--というところではないかと思います。 三角関数の基本は直角三角形についての理解です。 直角を内角にひとつ持つ三角形という性質の特徴から その姿の全容を知る上で次のことがヒントになります。 (1)直角以外の一つの内角の角度 (2)三角形のいずれか二辺の長さ、あるいは、長さの比 このどちらかの情報があれば、お目当ての直角三角形の姿が特定できます(長さが比の場合は相似形において)。3辺の長さ(長さの比)と3つの内角という三角形の構成要素の全てが比較的単純に算出できるということです。直角以外の内角の角度と三角形の形、あるいは二辺の長さの比と三角形の形。この相関関係を計算できるのが、「三角関数」です。 [A]直角以外の二つの内角 ご存じの通り、三角形は内角の和(合計)が180度になります。 直角三角形では一つの内角が直角(90度)なのですから 残るもう一つの内角の角度がわかれば 3つすべての内角の角度が特定できるということになります。 (直角以外のθという内角があれば、最後の一つは(90-θ)度というように) [B]内角の角度と辺の長さの比の関係 最初の(2)に、直角三角形ではいずれか二辺の長さ(あるいは長さの比)がわかれば、その三角形の姿がわかると書きました。これは、直角以外の内角と3辺の長さの比にも、相関関係があるからわかることなのです。 サイン・コサイン・タンジェントはそれを直接解くための式です。 鍵になる情報は一つの内角の角度、そして、2本の辺です。 必要なのはどちらか一方です。 Bobさんがお使いになった直角三角形の図をお借りしてきました。 底辺=10 高さ=3 斜辺には数値がありません。 底辺に近い[直角でない角度]がθとされています。 三角関数の基本に3つの式があります。 イコールで結ばれているのでどちら向きに読んでも良いのですが θの値がわかっている時に導かれる 高さと斜辺の長さの比が正弦(サイン=sin) 底辺と斜辺の長さの比が余弦(コサイン=cos) 高さと底辺の長さの比が正接(タンジェント=tan) 実際に数学で書く時は sinθ=高さ/斜辺 cosθ= 底辺/斜辺 tanθ=高さ/底辺 となります。 Bobさんの問題から一旦離れますが、例をあげてみましょう。 サイン30度=0.5 という式があります。 サインは、ある直角三角形の「内角」と「高さ」と「斜辺」の関係を表す式です。 式の右側は 0.5=1/2 ですから 高さ:斜辺=1:2 の関係であることがわかります。 つまり「サイン30度=0.5」という式は 「底辺に近い内角が30度の直角三角形の高さと斜辺の長さの比は常に1:2となる」 ということを示しています。 同時に 「直角三角形の高さと斜辺の長さの比が1:2である時、底辺に近い直角以外の内角は30度となる」 という説明でもあります。 直角と30度の内角がわかっているので、残されたもう一つの内角は60度。 ピタゴラスの定理の説明によく使われる有名な直角三角形の形になります。 残る一つの辺(斜辺)の値は、下に出てくる「ピタゴラスの定理」で計算するのが一般的です。 こうして、底辺に近い内角30度の直角三角形、というだけで、三角形の構成要素が全てわかりました。 今回のBobさんの問題では 「高さ(3)」と「底辺(10)」の値が示されています。 上の説明とは逆に 三角形の2辺の比から、一つの内角θの角度を導こうとしています。 内角θと「高さ」と「底辺」の関係を示す式を上の青い三つの式から探すと タンジェントの式を使うことになります。 (実際には「角度から辺」を求める正関数の逆で、「辺から角度」を求める「逆関数」となり、タンジェントの逆関数のアークタンジェントを使うことになります。) tanθ=3/10 私は関数計算機を持っておらず、またエクセルに慣れていないので実際の計算をしていませんが この結果をハリーさんがアークタンジェントで計算して DEGREES(ATAN(3/10)) → 16.6992442339936 と示していらっしゃいます。 θは約16.7度という結果です。 残る一辺の比も、角度と他の2辺がわかっているのですから サインやコサインを使うと求められますし、 直角三角形の3辺の関係を示すピタゴラスの定理 斜辺(二乗)=底辺(二乗)+高さ(二乗) でも求められます。 更に、基本の三角関数ではもう二つの式を覚えておくと有用ということで習うのが 三角関数同士の関係を示す tanθ=sinθ/cosθ また ピタゴラスの定理の式の両辺を斜辺の二乗で割ったものと、正弦・余弦(サイン・コサイン)関数と合わせて導かれる sin(二乗)θ+cos(二乗)θ=1 上の6本の式(サイン・コサイン・タンジェント・ピタゴラスの定理・三角関数の関係式・ピタゴラス+三角関数)を覚えておくと、この組み合わせのバリエーションから、持っている要素の限られた情報でお目当ての直角三角形のあらゆる要素を導けるというわけです。 で、こんなことを知っていて何の役に立つか、という話なんですが。 たとえばこれまで日当たりの良かった駅前に高層マンションが建つ予定が持ち上がったとします。 このマンションがどれくらいの高さになるのかがわかれば、太陽がそのてっぺんに差し込む角度によってどこまでがそのマンションの日陰になるかが計算できたりします。(日陰になる部分が直角三角形になります。) あるいはどうしても日陰を作ってはいけない範囲がわかっていれば、マンションの位置からそこまでの距離と日照角を計算した上で、マンションの高さ制限を考え、事前に話し合いの資料にしたりできます。 たとえば地面に直角に立ててあったはずの杭。 地盤がゆるくて傾いてしまいました。 何度傾いたのかを報告したいのですが、分度器がありません。 斜めになった杭のてっぺんの地面からの高さと、杭自体の長さをはかっておけば後で角度を計算できます。(斜めになった杭が斜辺、地面が底辺、杭の高さが直角三角形の高さ)→(まず地面と杭の間の角度を計算し、直角であったはずということから元の位置から傾いた角度を求めます) あとは自分よりだいぶ背の高い人に雪玉を投げる時に 自分がどれくらい相手から離れても届くか、とか 長方形のケーキを三角に切っていく時にズルを見抜くとか そんな時に三角関数を計算している暇なんてないのですが、 それなりに応用できる場面は多くありそうです(?)。 この正数の正関数を勉強すると、逆数の関数というのが出てきます。 また大学に入って理系の方が勉強する逆関数は、相当面白い展開があるようなのですが、私には到底理解できません^^;。 こんな説明で、少しでも近づいて頂けているでしょうか…(どきどき)。 本来、もっともっと数学の話題に明るい方は沢山いらっしゃると思います。 (私なぞがこんな記事を書いてしまうのは申し訳なく恥ずかしい気持ちでいっぱいですっ) もしよろしければこれをたたき台にして頂いて、足りないところ、面白い小ネタなど、できれば追加してくださいませ。 また間違っているところの訂正もお願いいたします。m(_._)m
by raphie
| 2007-02-28 09:12
| PleasureTB/T-Backer
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